El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).
La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema.
Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Los pasos necesarios para realizar el método son siete:
1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.
2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.
3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.
4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.
5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.
6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.
7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
Conjunto convexo
Un conjunto C es un conjunto convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos de C se encuentra completamente en C.
Conjunto Convexo
Conjunto No Convexo
PROBLEMA DE ÚNICA SOLUCIÓN
Maximice Z = 2X1 + X2
Bajo las siguientes restricciones:
2X1 – X28
X1 – X23
X1 + 2X214
X1 + 4X224
Xj0 ; j = 1, 2
Cálculos analíticos para graficar el sistema de inecuaciones lineales, incluyendo la condición de no negatividad (Xj>0 ; j = 1, 2), que nos indica que solamente trabajaremos en el primer cuadrante del plano cartesiano, cuadrante en donde X1 y X2 son positivas.
Restricciones
Fíjese que para cada inecuación, primero suponemos que es una igualdad y luego tabulamos dos puntos fáciles de calcular, como lo son las intersecciones de la recta con los ejes cartesianos abscisa y ordenada, esto siempre que el término independiente (Lado derecho de la inecuación) sea diferente de cero, es decir siempre y cuando la recta no pase por el origen de coordenadas P(0,0).
A continuación con un punto de prueba cualquiera P(X1 , X2), (Asegúrese que se encuentre al lado derecho ó izquierdo de la recta, NO sobre ella, es decir, el punto de prueba NO puede pertenecer a la recta), Aquí, como ya sabemos que la recta no pasa por el origen de coordenadas (Término independiente diferente de cero), usamos como punto de prueba P(0,0), es decir X1 = 0, X2 = 0 que nos facilita los cálculos cuando lo remplacemos en la inecuación y observamos si la hace una verdad ó una falsedad; Averiguar esto nos permite conocer si el área solución de la inecuación está al lado derecho ó izquierdo (Por supuesto, incluyendo los puntos sobre la recta, ya que todas las inecuaciones son menor ó igual ( < )); Si el punto de prueba hace verdad la inecuación lineal, entonces, todos los puntos que se encuentran al mismo lado del punto de prueba la harán verdad, si el punto de prueba no hace verdad la inecuación lineal, los puntos que la harán verdad están al lado contrario en donde se encuentra el punto de prueba. Esto es, si el punto de prueba se encuentra al lado izquierdo de la recta y hace verdad la inecuación, entonces el área de soluciones para ésta inecuación, son todos los puntos que pertenecen a la recta y los que se encuentran al ladoizquierdo de ella. Si el punto de prueba situado a la izquierda de la recta, no hace verdad la inecuación, entonces el área de soluciones para ésta inecuación, son todos los puntos que pertenecen a la recta y los que se encuentran al lado derecha de ella.
Función objetivo
La función objetivo Z = 2X1 + X2 expresada como 2X1 + X2 = Z tiene la estructura de una línea recta, solo que no conocemos su término independiente. Graficando ésta ecuación con diferentes valores para Z, observamos que la función objetivo, representa una familia de rectas paralelas, que al aumentar el valor de Z la recta se desplaza hacia el lado derecho, por lo que concluimos que Z aumenta cuando la recta se desplaza paralelamente hacia la derecha, esto se cumple siempre que la ecuación de la función objetiva tenga pendiente negativa, es decir inclinada al lado izquierdo. Para funciones objetivo con pendiente positiva (Inclinadas al lado derecho), se recomienda dar varios valores a Z y graficar para observar si al desplazarse a la derecha Z aumenta o por el contrario disminuye.
Aquí se le ha dado a Z el valor arbitrario de 2, ya que solo necesitamos graficar una de las rectas que pertenece a la familia de rectas paralelas, para facilitar la tabulación de la función objetivo, se recomienda dar el valor arbitrario de Z como un múltiplo de los coeficientes de las variables, que se consigue fácilmente, multiplicando el coeficiente de X1 por el coeficiente de X2 . Es conveniente fijarse en los valores de las coordenadas para graficar la función objetivo observando que sean parecidos en magnitud a los hallados para graficar las restricciones (Observe que puede dar el valor adecuado a Z), esto hará que la gráfica quede convenientemente presentada para el análisis.
Procedimientos para encontrar la solución factible óptima:
1. Evaluar la función objetivo Z en cada una de las esquinas del área de soluciones factibles. La debilidad de este procedimiento se presenta cuando se tienen muchas restricciones que por supuesto generan un área con muchas esquinas, volviéndose dispendiosa la consecución de sus coordenadas, que implica la solución de muchos sistemas de ecuaciones lineales.
2. Usando la función objetivo para determinar la esquina del área de soluciones factible que la optimiza. La debilidad de éste procedimiento se presenta cuando la funciónobjetiva es aproximadamente paralela a uno de los lados del área de soluciones factible, originando la duda visual sobre la gráfica de cuál de los dos extremos (esquinas) es el que hace que la función objetivo se optimice.
Se recomienda usar el segundo procedimiento y en caso de dudas visuales sobre la gráfica, recurrir al primer procedimiento para dirimir la duda respecto al par de esquinas.
Primer procedimiento: Evaluar la función objetivo Z en cada una de las esquinas del área de soluciones factibles.
Se recomienda usar el segundo procedimiento y en caso de dudas visuales sobre la gráfica, recurrir al primer procedimiento para dirimir la duda respecto al par de esquinas.
Primer procedimiento: Evaluar la función objetivo Z en cada una de las esquinas del área de soluciones factibles.
El valor de la función objetivo en cada una de las esquinas del área de soluciones factible es:
Segundo procedimiento: Usando la función objetivo para determinar la esquina del área de soluciones factible que la optimiza.
Fíjese que al desplazar la función objetivo Z hacia la derecha, el último punto a la derecha del área de soluciones factible que toca es: X1 = 6 , X2 = 4. Para encontrar las coordenadas debemos interceptar las ecuaciones de las restricciones X1 + 2X2 = 14 con 2X1 – X2 = 8 Una manera de hacer esto es empleando el método de los determinantes, que para un sistema de dos ecuaciones y dos variables es:
PROBLEMA DE MÚLTIPLES SOLUCIONES
Maximice Z = 5/2 X1 + X2
C. S. R. 3X1 + 5X2 =< 15
5X1 + 2X2 =< 10
Xj => 0; j = 1, 2
PROBLEMA DE SOLUCIONES INDETERMINADAS
Fíjese que para tabular la ecuación de la primera restricción, cuyo término independiente es igual a cero, es una ecuación que pasa por el origen de coordenadas P(0,0) y por lo tanto corta el eje de la abscisa y la ordenada en el mismo punto P(0,0), esto hace necesario tabular un segundo punto, que para el presente caso se usó X2 = 5 y se despejó X1 obteniendo el valor de 5, con lo que obtenemos un segundo punto P(5,5), que delimita la línea recta.
Si se está modelando sobre un problema real y ocurre éste caso, falta considerar una restricción, que justamente cierre el área de soluciones factibles por el lado derecho. Se ha dejado de considerar la restricción de algún recurso, ya que los valores de las variables en la realidad no pueden crecer de manera ilimitada, irrestrictamente.
PROBLEMA SIN SOLUCIÓN
Este caso se presenta cuando entre las restricciones existen al menos dos de ellas que sean excluyentes, tal como: X1 2 y X14. Aquí nunca podremos encontrar un número que al mismo tiempo sea menor o igual a 2 y mayor o igual a 4, las dos restricciones son excluyentes y por lo tanto no existe área de soluciones factible, gráficamente se observa de la siguiente manera:
PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Para encontrar las coordenadas de algunas esquinas del área de soluciones factibles, que no se observan a simple vista en la gráfica, se hace necesario resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
Fíjese que la función objetivo del presente ejercicio, tiene pendiente positiva (está inclinada hacia la derecha), y que al desplazarse paralelamente hacia la derecha el valor de Z aumenta y hacia la izquierda el valor de Z disminuye. Al remplazar los valores de las variables (tanto del máximo como del mínimo) en las restricciones, estas deben cumplirse. Adicionalmente observe que el punto que hace que Z sea mínimo, es la intersección de las rectas 5X1 – 4X2 = -20 y X2 = 10, a estas restricciones se les denomina activas ó de estricto cumplimiento, el resto de restricciones se les denomina no activas o de no estricto cumplimiento. Igualmente para el caso de maximizar en el que las restricciones activas o deestricto cumplimiento son: X1 8 y X23. Para observar esto remplazamos tanto el punto máximo como el mínimo en cada una de las restricciones.
Fuente: FRANCISCO ALFONSO CHEDIAK PINZON, “Investigación de Operaciones I Volumen I”. Colombia. 2002. Edidorial León Editores.
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